זאב ברקן – כך נפגשתי לראשונה עם מספרים פיתגוראים

Image result for ‫ספיח ביאליק‬‎

מאת זאב ברקן

בעיניי, היצירה המרשימה ביותר שביאליק כתב היא הסיפור על המפגש הראשון של ילד עם אותיות האלף בית:

"עוד ביום הראשון כשהראה לי הסגן את לוח ה"אלף בית" שורות שורות – מיד קפצו ובאו לפנַי חֲיָלוֹת חֲיָלוֹת של אנשי צבא, מאֵלּוּ שעוברים לפרקים על פני ביתנו, הם והמתוֹפף עִמָּם בראש: טם-טררם! ביותר דומות לכך שורות האלפי"ן והגימלי"ן עם ה"קֻבּוּצים" שלמטן. הרי הם אנשי חַיִל ממש, מזוּינים מכּף רגל ועד רֹאש; אלו, האלפי"ן, תרמיליהם מוּפשלים להם לאחוריהם והם הולכים כפופים קצת תחת משׂאם, כפורשים ל"מַניֶבְרוֹת"; ואלו, הגימלי"ן, נִצבים פשוטי רגל מלפניהם, מוכנים ל"מרש". עיני התחילו מפשפשות בצדי הלוח וּבשוּלָיו. "את מי אתה מבקש?" שואלני הסגן. "את המתופף…" אומר אני ועיני מפשפשות". [1]

מה שהרשים אותי בסיפור הזה הוא שהילד מתעלם מהתכלית המעשית של לימוד הקריאה, ומשחק עם האותיות במגרש המשחקים הפרטי של דמיונו.

דבר דומה קרה לי עם המספרים. אמנם זה לא קרה לי בבית הספר; אף לא כשקראתי במסגרת לימודיי בחוג לפילוסופיה שפיתגורס אמר שהכול מספר [2]; ואף לא כשלמדתי את תורת המספרים בסוף שנות השבעים מיוסף ספרא, דמות מוכרת בחוגי הסופרים בתל אביב בראשית שנות השישים (ויוזם הספר שהפך להיות "הייתי כלבתו הפרטית של קולונל שולץ") ומקים קיבוץ "נאות סמדר" בערבה במסגרת קבוצות שארגן בביתו בירושלים.

באותה עת העיסוק במספרים נראה לי כהתעללות בחלשים. אחרי שיוסף ספרא הלך לעולמו עניין אותי לדעת מה היו המקורות שלו, ונסחפתי להתבוננות במספרים כפי שהם, בלי ידע מוקדם, בלי תכלית מעשית, לבד, ובקצב שלי. נדמה לי שכל אחד שיתבונן כך במספרים עשוי לגלות בהם דברים חדשים.

גיליתי שהמקור העיקרי לידע של יוסף ספרא על המספרים היו כתבי הפיתגוראים.

Image result for ‫פיתגוראים‬‎

פיתגוראים
טטרקטיס. צילם ועיבד במחשב: זאב ברקן

בתחילת דרכם, במחצית האלף הראשון לפני הספירה, לא הפרידו הפיתגוראים בין מספרים לבין צורות. הם ייחסו קדושה לעשר [3], שאותו הם הציגו (לא כמספר אלא בצורת משולש שווה שוקיים) באמצעות אבנים קטנות שהניחו על הקרקע. את קדקודו של המשולש ייצגה אבן אחת, תחתיה שתי אבנים, תחתיה  שלש, ובבסיס ארבע. בתוך המשולש הזה הם יכלו לראות תופעות מדהימות שמזכירות את אלה שראה ביאליק באותיות האלף בית.

דוגמה לכך אפשר לראות בדיאלוג של לוקיאנוס מסמוסטה (המאה השנייה לספירה):
"סוחר שאל את פיתגורס: מה אתה יכול ללמד אותי?
פיתגורס : לספור.
סוחר: לספור אני כבר יודע.
פיתגורס: איך אתה סופר?
סוחר: אחד, שתיים, שלוש, ארבע…
פיתגורס: עצור! מה שאתה מחשיב כארבע הוא עשר, משולש מושלם, והסמל שבו אנו נשבעים".
Lucian's Dialogues, Selected by Dugard and Leeds. Translated by Dryden, 1772, p. 204 (Dialogue XX, The auction of Philosophers

הם יכלו לראות שהכול נובע מהנקודה שהיא בו זמנית גם המספר אחד. שכל המספרים מורכבים מהאחד, ושכל הצורות מורכבות מן הנקודה. שהנקודה אינה מורכבת מצורה אחרת, ושהאחד אינו מורכב ממספר אחר. הם יכלו לראות שבין שתי האבנים שבשורה השנייה ניתן למתוח קו. שמשלושת האבנים שמתחתיהן ניתן ליצור משולש, שהוא שטח, ושמהבסיס של ארבע האבנים ניתן לבנות גוף תלת ממדי, פירמידה משולשת, שקדקודה בשמים ובסיסה בארץ. הם יכלו לראות שנקודה היא מה שאין לו אורך, כשם שהאחד אינו שניים. שקו הוא מה שאין לו רוחב, כשם שהשניים אינו שלוש. ששטח זה מה שאין לו עובי, כשם שהשלוש אינו ארבע. הפיתגוראים ביטאו את יכולת ההתבוננות שלהם במספרים בשיאה בספר ה"יסודות" של אוקלידס. ותובנות אלה נוסחו אצל אוקלידס [] כהגדרות מרכזיות שמשמשות אותנו עד היום לא רק כיסודות של הגאומטריה ושל תורת המספרים, אלא גם כיסודות של המדע. מה שהתחיל אצלם כמשחק עשיר דמיון של חובבנים נגמר אצלנו כמעצב מציאות רציני של מקצוענים.

הם יכלו לראות שהעשר הוא תוצאת חיבור מרכיבי המשולש 1+2+3+4=10. שמדובר בעצם בסדרת מספרים משולשים שמתחילה מחיבור של 1+2=3 וממשיכה בחיבור של 1+2+3=6 ושניתן להמשיך את הסדרה הזאת עד אין סוף. [5]

הם יכלו לראות שמלבד מספרים משולשים יש גם מספרים בצורות אחרות. כל תלמיד בבית הספר יודע בעל פה את שמות האברים הראשונים של סדרת המספרים הריבועיים, אבל הפיתגוראים ידעו גם שחיבור של מספר משולש עם  מספר ריבועי יוצר מספר מחומש, ושמספר משולש ועוד מספר מחומש יוצרים מספר משושה. [6]

אסיים בדוגמה לתגלית שלי במספרים:

המשושה כמספר משולש

המספר שש הוא מספר משולש. בדרך כלל רגילים להראות זאת באמצעות שש נקודות שמסודרות בשלש שורות כך שנוצר משולש שבראשו נקודה אחת מתחתיו שתי נקודות ובבסיסו שלש נקודות. למרבה ההפתעה המבנה הזה מתגלה לעין גם כאשר מעבירים את אלכסוני המשושה, המחלקים אותו לשישה משולשים: משולש אחד למעלה, שניים מתחתיו (עם רקע שחור) ושלושה מתחתיהם (עם רקע מקווקו).

הערות:

[1] בפרק השלישי של "ספיח".

[2] אריסטו, "מטפיסיקה" 986 א.

[3] תיאון מסמירנה, בן המאה השנייה לספירה, מזכיר בספרו אחד עשר פירושים לטטרקטיס. מקור:
Theon, of Smyrna: Mathematics useful for understanding Plato; translated from the 1892 Greek/French edition of J. Dupuis by Robert and Deborah Lawlor, p. 94–99

[4]  Nicomachus, Introduction to Arithmetic ii. 12. 2-4, ed. Hoche 96. 11-97. 17

[5] את מחקרי על אודות המספרים ואת תגליותיי בהם פרסמתי בבלוג שם מספר.

אודות זאב ברקן

יליד 1948. בוגר החוג לספרות עברית ופילוסופיה כללית באוניברסיטה העברית בירושלים. נשוי ואב לבן ולבת. תושב ירושלים. חוקר תרבות, משורר, ומצלם צילומים אמנותיים. עסק בעיקר בחקר סמל המגן דוד. הוציא לאור בנושא זה שני ספרים בעברית וספר באנגלית: מגן דוד שחור לבן, אלבום הטלאי הצהוב, ‪Star of David Album‬. יזם תערוכות אמנות רבות שבהן השתתפו מאות אמנים שביצירתם מופיע מגן דוד. חקר גם את השפעת התנ"ך על חיי היום יום בישראל, ויזם כמה תערוכות אמנות שהציגו יצירות בהשפעת התנ"ך. פרסם בהוצאה עצמית ספר צילומים בשם "שם דבר" שבו מופיעים צילומים של שמות של דברים שעשויים מהדברים עצמם, כמו המילה בננה כשהיא עשויה מבננות. אלפי צילומים שלו מופיעים בויקימדיה, אתר התמונות של ויקיפדיה. החל לכתוב שירה כאשר היה נח"לאי בקיבוץ רביבים לפני חמישים שנה.
הפוסט הזה פורסם בתאריך מדע ופילוסופיה, מדע פופולרי עם התגים , , , . קישור קבוע.

כתיבת תגובה

האימייל שלך לא יוצג בבלוג. (*) שדות חובה מסומנים

*

תגי HTML מותרים: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

*