מתמטיקה של קירובים ולא של חישוב מדויק

כאשר אנו לומדים מתמטיקה או "חשבון" בבית הספר, מלמדים אותנו שמתמטיקה היא מדע מדויק, ושיש רק תשובה אחת נכונה. אני מאמין שזאת טעות בסיסית בלימוד מתמטיקה. המחשבה שמתמטיקה היא מדע מדויק מרחיקה פעמים רבות אנשים רבים מהמקצוע – במיוחד אנשים שאוהבים חופש, אנשים שמאמינים שיש לנו בחירה. אולי הראשון שהבין את זה היה ארכימדס, אבל על זה נדון בהמשך.

אני מכיר שתי דרכים שמאפשרות לנו לשבור את הדטרמיניזם במתמטיקה. ראשית, אנו תמיד יכולים לשנות את מערכת האקסיומות שאנו בוחרים, ולראות איזו תורה אנו מקבלים. למשל, אנו יכולים להחליט ש- 1+1 = 0 ולנסות לפתח את המתמטיקה של אקסיומה זו. מתמטיקאים רבים השתמשו בחופש הזה כדי לקדם את ההבנה שלנו על העולם שמסביבנו.

שנית, במקום לתת תשובה מדויקת, אפשר לנסות לתת תשובה מקורבת. אני חושב שרעיון הקירוב עומד בבסיס המחשבה המדעית. בהמשך אדגים בעזרת סיפור קצר כיצד ניתן להשתמש בקירובים כדי להקל על חישוב של פונקציות מסובכות כמו log ושורש.

למורה שלי למתמטיקה בכיתה י' קראו חנה. חנה אהבה את מה שהיא לימדה. בכל פעם שהיינו לומדים חומר חדש היא הייתה נותנת לנו בוחן קצר, שבו היינו אמורים לחשב חישובים פשוטים. היינו 25 תלמידים, 20 בנים ו-3 בנות (הקורא אולי שם לב כי 20+3 לא שווה ל-25, זאת הדגמה נוספת לרעיון הקירוב). התלמידה הכי טובה בכיתה הייתה דנה. היא ממש הבינה מתמטיקה. בבחנים דנה הייתה מסיימת את הבוחן ראשונה, אחרי חמש דקות. אנחנו היינו נשארים לעבוד שעה שלמה. אני זוכר את הבוחן הראשון בכיתה י'. בבוחן הזה היינו אמורים לחשב לוג של כל מיני מספרים. הבוחן היה אמור לקחת שעה, ואחרי חמש דקות דנה יצאה מהכיתה. אני לא הבנתי איך היא עשתה את זה כל כך מהר, ובדרך הביתה שאלתי אותה על הבוחן. היא אמרה לי שלחשב לוג זה ממש פשוט – כל מה שצריך לעשות זה לספור את מספר הספרות של המספר, וזה נותן קירוב טוב. לאחר שבוע חנה החזירה את הבוחן. אני קבלתי 95 ודנה הייתה עצובה, היא אמרה שחנה לא מבינה מתמטיקה. הצעתי לה שתלך לדבר עם חנה בהפסקה. דנה הלכה לדבר עם המורה, ולאחר חמש דקות ראיתי את דנה מחייכת. ידעתי שנעשה צדק.
בדרך הביתה שאלתי את דנה מה היא אמרה לחנה. דנה סיפרה שהיא שאלה את חנה למה היא הורידה לה את כל הנקודות. חנה הסבירה לדנה שהתשובות שלה לא מדויקות. דנה אמרה שזה לא נכון, ושלמעשה כל הילדים האחרים ענו תשובות לא מדויקות. היא אמרה שרק היא כתבה את התשובה שלה ואת טווח הדיוק של התשובה. למשל, בשאלה 1 היינו אמורים לחשב log של 13. דנה כתבה ש:

1<log(13)<2

היא גם הסבירה לחנה את ההיגיון של התשובה: למספר 13 יש שתי ספרות ולכן הלוג הוא בין 2 ל-1. דנה אמרה שכל שאר הילדים חישבו לוג 13 בחישובית שלהם וכתבו משהו כמו  log(13) = 1.113943352 דנה טענה שלמרות שהם חישבו בצורה קצת יותר מדויקת ממנה, הם  כתבו את התשובה כשוויון ולא כאי-שוויון. לכן הם אלו שלא היו מדויקים, היות ולא ניתן לכתוב את הלוג בצורה מדויקת, והתשובה שלה נכונה יותר. לחנה לא הייתה ברירה אלא לקבל את הטענה של דנה.

אני רוצה להסביר יותר בפירוט את מה שדנה הסבירה לי בכיתה י'. אולי נתחיל בפונקציה log. בבית הספר מלמדים אותנו שההגדרה של לוג היא:

אני מוצא את ההגדרה הזאת מדויקת אך חסרת אינטואיציה. אחת הפרשנויות של הפונקציה log, כאשר אנו חושבים על קירוב ולא על הערך המדויק, היא מספר הספרות במספר, פחות אחת. או במינוח אחר, מספר הספרות הלא משמעותיות. לדוגמה, המספר 10 מכיל שתי ספרות. הספרה 1 היא הספרה המשמעותית, ויש עוד ספרה, אפס במקרה הזה. לכן log(10) = 1. אם נסתכל על כל המספרים בין 10 ל-99 נגלה ש-log שלהם הוא בין 1 ל-2. באותו אופן ניתן לבדוק כי ה-log של כל המספרים בין 100-999 הוא בין 2 ל-3. כלומר, אם אנו מעוניינים בחישוב מהיר ולא מדויק של log, כל מה שאנו צריכים לעשות הוא לחשב את מספר הספרות של המספר. כעת אנו יכולים להדגים ש- log הוא בין מספר הספרות למספר הספרות פחות אחד.

שאלה מענינת היא מתי הופיע הרעיון של קירוב במתמטיקה בפעם הראשונה. אני חושב שאפשר לייחס את הרעיון לארכימדס. ארכימדס ניסה לחשב את השטח של המעגל בספרו "על המדידה של המעגל". רוב החיבור אבד, אך נשארו ממנו שלוש טענות.

הטענות הן:

1. השטח של כל מעגל שווה לשטחו של משולש ישר-זווית אשר בו אחת הצלעות הסמוכות לזווית הישרה שווה לרדיוס, והאחרת להיקף של המעגל.
2. היחס בין שטח המעגל לשטח הריבוע הנבנה על קוטרו הוא כמו 11 ל 14.
3. היחס בין היקפו של כל מעגל לקוטרו גדול מ-

וקטן מ-

הנה השיטה של ארכימדס לקירוב המספר פי בציורים הבאים. חסם עליון משתמש במשיקים אדומים. חסם תחתון משתמש במיתרים בכחול.

וקירוב שנותן תחום יותר מצומצם:

והנה תחום עוד יותר מצומצם:

למעשה ניתן להכליל את ההוכחה של ארכימדס ולהתקרב לתשובה ככל שנרצה. יש הרואים בהוכחה זאת את תחילתו של הקלקולוס, שפותח על-ידי ניוטון ולייבניץ'. אבל זה סיפור לפעם אחרת.

ארכימדס גם פיתח שיטה לחשב קירובים של שורשים. אם אינני טועה, למדנו על שורשים בסוף כיתה י׳. גם אז חנה נתנה לנו בוחן קצר שבו היינו צריכים לחשב את השורשים של מספרים שונים. גם במקרה הזה דנה יצאה אחרי חמש דקות, וכל שאר התלמידים נשארו לעבוד במשך שעה.

בדרך הביתה שאלתי את דנה איך היא עשתה את הבוחן. הפעם היא הסבירה לי שכל מה שצריך לעשות זה להבין ששורש מקטין את מספר הספרות הלא-משמעותיות בחצי. אולי כדאי להסתכל על דוגמה: שורש של 100 הוא כמובן 10. הספרה המשמעותית ב-100 היא 1, ויש 2 ספרות לא משמעותיות, לכן מספר הספרות הלא-משמעותיות של השורש הוא 1. נסתכל על דוגמה נוספת, מהו השורש של 1,000,000? למיליון יש 6 אפסים ולכן השורש שלו מכיל שלושה אפסים וכמובן השורש של מיליון הוא 1000.

חשבתי קצת על מה שדיברנו בבוחן הקודם, ואמרתי לדנה שנראה לי שאני יודע להוכיח את זה. שאלתי אותה: את זוכרת את מה שאת אמרת בפעם הקודמת אחרי הבוחן על הלוגים?

דנה אמרה שהיא לא זוכרת. הזכרתי לה: את אמרת שלוג זאת פעולה שסופרת את מספר הספרות של מספר. לכן אם אני רוצה לדעת כמה ספרות יש למספר

אני פשוט צריך להוציא לוג. אם אוציא לוג אני מקבל

דנה הסכימה ואמרה שזה פשוט ויפה: זה בדיוק מה שאמרתי, ענתה לי. אנחנו משתמשים בחצי מהספרות.

יש לי מזל שדנה בכיתה שלי, חשבתי.

אודות צבי לוטקר

פרופסור צבי לוטקר מלמד באוניברסיטת בן גוריון בפקולטה להנדסה, בתחום מדעי המחשב
הפוסט הזה פורסם בתאריך מדע ופילוסופיה, מדע פופולרי. קישור קבוע.

תגובה אחת על מתמטיקה של קירובים ולא של חישוב מדויק

  1. מאת אלי אשד:‏

    אני נזכר בספר "מתמטיקה למליונים "של לנסלוט הוגבן שמטרו הייתה להסביר את הדברים המסובכים ביותר במתמטיקה גם לאלו שאל מבינים כלום.
    ועדיין זה לא פשוט אבל אתה חושב שאולי אתה מתחיל להבין במה המדובר.

כתיבת תגובה

האימייל שלך לא יוצג בבלוג. (*) שדות חובה מסומנים

*

תגי HTML מותרים: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

*